Binominaal versus normale distributie
Kansverdelingen van willekeurige variabelen spelen een belangrijke rol op het gebied van statistiek. Van die kansverdelingen zijn binominale en normale verdeling twee van de meest voorkomende in het echte leven.
Wat is binominale distributie?
Binominale verdeling is de kansverdeling die overeenkomt met de willekeurige variabele X, die het aantal successen is van een eindige reeks onafhankelijke ja / nee-experimenten die elk een kans van slagen hebben p. Uit de definitie van X blijkt duidelijk dat het een discrete willekeurige variabele is; daarom is binominale distributie ook discreet.
De verdeling wordt aangeduid als X ~ B (n, p) waarbij n het aantal experimenten is en p de kans op succes. Volgens de kansrekening kunnen we afleiden dat B (n, p) de kansmassafunctie volgt
. Uit deze vergelijking kan verder worden afgeleid dat de verwachte waarde van X, E (X) = np en de variantie van X, V (X) = np (1- p).
Overweeg bijvoorbeeld een willekeurig experiment waarbij je drie keer een munt opgooit. Definieer succes als het verkrijgen van H, mislukken als het verkrijgen van T en de willekeurige variabele X als het aantal successen in het experiment. Dan X ~ B (3, 0,5) en de kansmassafunctie van X gegeven door
. Daarom is de kans om ten minste 2 H's te verkrijgen P (X ≥ 2) = P (X = 2 of X = 3) = P (X = 2) + P (X = 3) = 3 C 2 (0,5 2) (0,5 1) + 3 C 3 (0,5 3) (0,5 0) = 0,375 + 0,125 = 0,5.
Wat is normale distributie?
Normale verdeling is de continue kansverdeling gedefinieerd door de kansdichtheidsfunctie
. De parameters
geven het gemiddelde en de standaarddeviatie van de populatie van belang aan. Wanneer
de distributie de standaard normale distributie wordt genoemd.
Deze verdeling wordt normaal genoemd omdat de meeste natuurlijke verschijnselen de normale verdeling volgen. Het IQ van de menselijke populatie is bijvoorbeeld normaal verdeeld. Zoals te zien is in de grafiek, is het unimodaal, symmetrisch rond het gemiddelde en klokvormig. Het gemiddelde, de modus en de mediaan vallen samen. Het gebied onder de curve komt overeen met het deel van de bevolking dat aan een bepaalde voorwaarde voldoet.
De delen van de bevolking in het interval
,
,
ongeveer 68,2%, 95,6% en 99,8% respectievelijk.
Wat is het verschil tussen binominale en normale distributies?
- Binominale verdeling is een discrete kansverdeling, terwijl de normale verdeling een continue is.
-
De kansmassafunctie van de binominale verdeling is
terwijl de kansdichtheidsfunctie van de normale verdeling dat is
- Binominale distributie wordt onder bepaalde omstandigheden benaderd met normale distributie, maar niet andersom.
