Wederzijds exclusieve versus onafhankelijke evenementen
Mensen verwarren vaak het concept van elkaar uitsluitende evenementen met onafhankelijke evenementen. Dit zijn in feite twee verschillende dingen.
Laat A en B twee willekeurige gebeurtenissen zijn die verband houden met een willekeurig experiment E. P (A) wordt de "waarschijnlijkheid van A" genoemd. Evenzo kunnen we de kans op B definiëren als P (B), de kans op A of B als P (A∪B) en de kans op A en B als P (A∩B). Dan is P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).
Er wordt echter gezegd dat twee gebeurtenissen elkaar uitsluiten als het optreden van de ene gebeurtenis de andere niet beïnvloedt. Met andere woorden, ze kunnen niet tegelijkertijd voorkomen. Daarom, als twee gebeurtenissen A en B elkaar uitsluiten, dan A∩B = ∅ en dus betekent dat P (A∪B) = P (A) + P (B).
Stel dat A en B twee gebeurtenissen zijn in een steekproefruimte S. Voorwaardelijke waarschijnlijkheid van A, gegeven dat B heeft plaatsgevonden, wordt aangeduid met P (A | B) en wordt gedefinieerd als; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), mits P (B)> 0. (anders is het niet gedefinieerd.)
Van een gebeurtenis A wordt gezegd dat deze onafhankelijk is van een gebeurtenis B, als de kans dat A zich voordoet niet wordt beïnvloed door het feit of B heeft plaatsgevonden of niet. Met andere woorden, de uitkomst van gebeurtenis B heeft geen invloed op de uitkomst van gebeurtenis A. Daarom is P (A | B) = P (A). Evenzo is B onafhankelijk van A als P (B) = P (B | A). Daarom kunnen we concluderen dat als A en B onafhankelijke gebeurtenissen zijn, P (A∩B) = P (A). P (B)
Stel dat een genummerd blokje wordt gegooid en een eerlijke munt wordt omgedraaid. Laat A de gebeurtenis zijn die een kop krijgt en B de gebeurtenis zijn die een even getal rolt. Dan kunnen we concluderen dat gebeurtenissen A en B onafhankelijk zijn, omdat die uitkomst van de een geen invloed heeft op de uitkomst van de ander. Daarom is P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Aangezien P (A∩B) ≠ 0, A en B elkaar niet kunnen uitsluiten.
Stel dat een urn 7 witte knikkers en 8 zwarte knikkers bevat. Definieer gebeurtenis A als het tekenen van een witte knikker en gebeurtenis B als het tekenen van een zwarte knikker. Ervan uitgaande dat elke knikker zal worden vervangen nadat de kleur is genoteerd, dan zullen P (A) en P (B) altijd hetzelfde zijn, ongeacht hoe vaak we uit de urn trekken. Het vervangen van de knikkers betekent dat de kansen niet veranderen van trekking naar trekking, ongeacht de kleur die we bij de laatste trekking hebben gekozen. Daarom zijn gebeurtenis A en B onafhankelijk.
Als knikkers echter zonder vervanging werden getekend, verandert alles. Onder deze aanname zijn de gebeurtenissen A en B niet onafhankelijk. Als je de eerste keer een witte knikker trekt, verandert de kans dat je bij de tweede trekking een zwarte knikker trekt, enzovoort. Met andere woorden, elke trekking heeft een effect op de volgende trekking, en dus zijn de individuele trekkingen niet onafhankelijk.
Verschil tussen wederzijds exclusieve en onafhankelijke evenementen
- Wederzijdse exclusiviteit van evenementen betekent dat er geen overlap is tussen de sets A en B. Onafhankelijkheid van evenementen betekent dat het gebeuren van A geen invloed heeft op het gebeuren van B.
- Als twee gebeurtenissen A en B elkaar wederzijds uitsluiten, dan is P (A∩B) = 0.
- Als twee gebeurtenissen A en B onafhankelijk zijn, dan is P (A∩B) = P (A). P (B)
