Afhankelijke versus onafhankelijke evenementen
In ons dagelijks leven komen we gebeurtenissen met onzekerheid tegen. Bijvoorbeeld een kans op het winnen van een loterij die je koopt of een kans op de baan waarvoor je solliciteerde. Fundamentele waarschijnlijkheidstheorie wordt gebruikt om de kans dat iets gebeurt wiskundig te bepalen. Waarschijnlijkheid wordt altijd geassocieerd met willekeurige experimenten. Van een experiment met verschillende mogelijke uitkomsten wordt gezegd dat het een willekeurig experiment is, als de uitkomst van een enkele proef niet van tevoren kan worden voorspeld. Afhankelijke en onafhankelijke gebeurtenissen zijn termen die in de kansrekening worden gebruikt.
Van een gebeurtenis B wordt gezegd dat deze onafhankelijk is van een gebeurtenis A, als de kans dat B zich voordoet niet wordt beïnvloed door het feit of A heeft plaatsgevonden of niet. Twee gebeurtenissen zijn eenvoudig onafhankelijk als de uitkomst van de ene geen invloed heeft op de waarschijnlijkheid dat de andere gebeurtenis plaatsvindt. Met andere woorden, B is onafhankelijk van A, als P (B) = P (B | A). Evenzo is A onafhankelijk van B, als P (A) = P (A | B). Hier geeft P (A | B) de voorwaardelijke kans A aan, ervan uitgaande dat B is gebeurd. Als we overwegen om met twee dobbelstenen te gooien, heeft een getal dat op de ene dobbelsteen verschijnt geen effect op wat er in de andere dobbelsteen komt.
Voor twee willekeurige gebeurtenissen A en B in een monsterruimte S; de voorwaardelijke kans van A, gegeven dat B is opgetreden, is P (A | B) = P (A∩B) / P (B). Dus als gebeurtenis A onafhankelijk is van gebeurtenis B, dan betekent P (A) = P (A | B) dat P (A∩B) = P (A) x P (B). Evenzo, als P (B) = P (B | A), dan geldt P (A∩B) = P (A) x P (B). Daarom kunnen we concluderen dat de twee gebeurtenissen A en B onafhankelijk zijn, als en slechts als voorwaarde P (A∩B) = P (A) x P (B) geldt.
Laten we aannemen dat we een dobbelsteen werpen en tegelijkertijd een munt opgooien. Dan is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten of de steekproefruimte S = {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T)}. Laat gebeurtenis A de gebeurtenis zijn om koppen te krijgen, dan is de kans op gebeurtenis A, P (A) 6/12 of 1/2, en laat B de gebeurtenis zijn waarbij een veelvoud van drie op de dobbelsteen wordt behaald. Dan is P (B) = 4/12 = 1/3. Elk van deze twee gebeurtenissen heeft geen invloed op het optreden van de andere gebeurtenis. Daarom zijn deze twee evenementen onafhankelijk. Aangezien de verzameling (A∩B) = {(3, H), (6, H)}, is de kans dat een gebeurtenis kop en een veelvoud van drie krijgt bij de dobbelsteen, dat wil zeggen P (A∩B) 2/12 of 1/6. De vermenigvuldiging, P (A) x P (B), is ook gelijk aan 1/6. Aangezien de twee gebeurtenissen A en B de voorwaarde hebben, kunnen we zeggen dat A en B onafhankelijke gebeurtenissen zijn.
Als de uitkomst van een gebeurtenis wordt beïnvloed door de uitkomst van de andere gebeurtenis, dan is de gebeurtenis afhankelijk.
Stel dat we een zak hebben die 3 rode ballen, 2 witte ballen en 2 groene ballen bevat. De kans om willekeurig een witte bal te trekken is 2/7. Wat is de kans om een groene bal te trekken? Is het 2/7?
Als we de tweede bal hadden getrokken nadat we de eerste bal hadden teruggeplaatst, is deze kans 2/7. Als we echter de eerste bal die we hebben verwijderd niet vervangen, hebben we maar zes ballen in de zak, dus de kans om een groene bal te trekken is nu 2/6 of 1/3. Daarom is de tweede gebeurtenis afhankelijk, aangezien de eerste gebeurtenis een effect heeft op de tweede gebeurtenis.
Wat is het verschil tussen afhankelijk evenement en onafhankelijk evenement?
