Lineaire versus niet-lineaire differentiaalvergelijkingen
Een vergelijking die ten minste één differentiaalcoëfficiënt of afgeleide van een onbekende variabele bevat, staat bekend als een differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking kan lineair of niet-lineair zijn. De strekking van dit artikel is om uit te leggen wat lineaire differentiaalvergelijking is, wat niet-lineaire differentiaalvergelijking is en wat het verschil is tussen lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen.
Sinds de ontwikkeling van calculus in de 18e eeuw door wiskundigen als Newton en Leibnitz, heeft differentiaalvergelijking een belangrijke rol gespeeld in het verhaal van de wiskunde. Differentiaalvergelijkingen zijn van groot belang in de wiskunde vanwege hun toepassingsgebied. Differentiaalvergelijkingen vormen de kern van elk model dat we ontwikkelen om elk scenario of gebeurtenis in de wereld uit te leggen, of het nu gaat om natuurkunde, techniek, scheikunde, statistiek, financiële analyse of biologie (de lijst is eindeloos). In feite, totdat calculus een gevestigde theorie werd, waren de juiste wiskundige hulpmiddelen niet beschikbaar om de interessante problemen in de natuur te analyseren.
Resulterende vergelijkingen van een specifieke toepassing van calculus kunnen erg complex zijn en soms niet oplosbaar. Er zijn er echter een die we kunnen oplossen, maar die er hetzelfde en verwarrend uitzien. Daarom worden differentiaalvergelijkingen voor een eenvoudigere identificatie gecategoriseerd op basis van hun wiskundig gedrag. Lineair en niet-lineair is zo'n categorisering. Het is belangrijk om het verschil tussen lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen te identificeren.
Wat is een lineaire differentiaalvergelijking?
Stel dat f: X → Y en f (x) = y, een differentiaalvergelijking zonder niet-lineaire termen van de onbekende functie y en zijn afgeleiden bekend staat als een lineaire differentiaalvergelijking.
Het legt de voorwaarde op dat y geen hogere indextermen zoals y 2, y 3, … en veelvouden van derivaten zoals
Het mag ook geen niet-lineaire termen bevatten, zoals Sin y, e y ^ -2 of ln y. Het heeft de vorm,
waarbij y en g functies zijn van x. De vergelijking is een differentiaalvergelijking van de orde n, de index van de hoogste orde afgeleide.
In een lineaire differentiaalvergelijking is de differentiaaloperator een lineaire operator en vormen de oplossingen een vectorruimte. Door het lineaire karakter van de oplossingsset is een lineaire combinatie van de oplossingen ook een oplossing voor de differentiaalvergelijking. Dat wil zeggen, als y 1 en y 2 oplossingen zijn van de differentiaalvergelijking, dan is C 1 y 1 + C 2 y 2 ook een oplossing.
De lineariteit van de vergelijking is slechts één parameter van de classificatie en kan verder worden onderverdeeld in homogene of niet-homogene en gewone of partiële differentiaalvergelijkingen. Als de functie g = 0 is, is de vergelijking een lineaire homogene differentiaalvergelijking. Als f een functie is van twee of meer onafhankelijke variabelen (f: X, T → Y) en f (x, t) = y, dan is de vergelijking een lineaire partiële differentiaalvergelijking.
Oplossingsmethode voor de differentiaalvergelijking is afhankelijk van het type en de coëfficiënten van de differentiaalvergelijking. Het gemakkelijkste geval doet zich voor wanneer de coëfficiënten constant zijn. Klassiek voorbeeld voor deze zaak is de tweede bewegingswet van Newton en de verschillende toepassingen ervan. De tweede wet van Newton produceert een lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde met constante coëfficiënten.
Wat is een niet-lineaire differentiaalvergelijking?
Vergelijkingen die niet-lineaire termen bevatten, staan bekend als niet-lineaire differentiaalvergelijkingen.
Alle bovenstaande zijn niet-lineaire differentiaalvergelijkingen. Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen zijn moeilijk op te lossen, daarom is nauwkeurige studie vereist om tot een juiste oplossing te komen. In het geval van partiële differentiaalvergelijkingen hebben de meeste vergelijkingen geen algemene oplossing. Daarom moet elke vergelijking onafhankelijk worden behandeld.
Navier-Stokes-vergelijking en Euler's vergelijking in vloeistofdynamica, Einstein's veldvergelijkingen van de algemene relativiteitstheorie zijn bekende niet-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen. Soms kan de toepassing van Lagrange-vergelijking op een variabel systeem resulteren in een systeem van niet-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen.
Wat is het verschil tussen lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen?
• Een differentiaalvergelijking, die alleen de lineaire termen heeft van de onbekende of afhankelijke variabele en zijn afgeleiden, staat bekend als een lineaire differentiaalvergelijking. Het heeft geen term met de afhankelijke variabele index hoger dan 1 en bevat geen veelvoud van zijn derivaten. Het kan geen niet-lineaire functies hebben, zoals trigonometrische functies, exponentiële functies en logaritmische functies met betrekking tot de afhankelijke variabele. Elke differentiaalvergelijking die bovengenoemde termen bevat, is een niet-lineaire differentiaalvergelijking.
• Oplossingen van lineaire differentiaalvergelijkingen creëren vectorruimte en de differentiaaloperator is ook een lineaire operator in vectorruimte.
• Oplossingen van lineaire differentiaalvergelijkingen zijn relatief eenvoudiger en er bestaan algemene oplossingen. Voor niet-lineaire vergelijkingen bestaat in de meeste gevallen de algemene oplossing niet en kan de oplossing probleemspecifiek zijn. Dit maakt de oplossing veel moeilijker dan de lineaire vergelijkingen.
