Verschil Tussen Integratie En Sommatie

2024 Auteur: Mildred Bawerman | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-12-16 08:40

Integratie versus sommatie

In wiskunde boven de middelbare school worden integratie en sommatie vaak gevonden in wiskundige bewerkingen. Ze worden schijnbaar gebruikt als verschillende instrumenten en in verschillende situaties, maar ze delen een zeer nauwe relatie.

Meer over sommatie

Sommeren is het optellen van een reeks getallen en de bewerking wordt vaak aangeduid met de Griekse letter met hoofdletter sigma Σ. Het wordt gebruikt om de sommatie af te korten en is gelijk aan de som / totaal van de reeks. Ze worden vaak gebruikt om de reeks weer te geven, die in wezen oneindige opeenvolgingen zijn. Ze kunnen ook worden gebruikt om de som van vectoren, matrices of polynomen aan te geven.

De optelling wordt meestal gedaan voor een reeks waarden die kunnen worden weergegeven door een algemene term, zoals een reeks met een gemeenschappelijke term. Het beginpunt en het eindpunt van de sommatie staan bekend als respectievelijk de ondergrens en de bovengrens van de sommatie.

De som van de reeks a ₁, a ₂, a ₃, a ₄, …, a _n is bijvoorbeeld een ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _n die gemakkelijk kan worden weergegeven met de sommatie-notatie als ∑ ⁿ _{ik = 1} een _ik; ik heet de index van sommatie.

Er worden veel variaties gebruikt voor de sommatie op basis van de applicatie. In sommige gevallen kunnen de bovengrens en ondergrens worden opgegeven als een interval of een bereik, zoals ∑ _1≤i≤100 a _i en ∑ _{i∈ [1100]} a _i. Of het kan worden gegeven als een reeks getallen zoals ∑ _i∈P a _i, waarbij P een gedefinieerde reeks is.

In sommige gevallen kunnen twee of meer sigma-tekens worden gebruikt, maar deze kunnen als volgt worden gegeneraliseerd; ∑ _j ∑ _k een _jk = ∑ _{j, k} een _jk.

Ook volgt de sommatie veel algebraïsche regels. Omdat de ingebedde bewerking de optelling is, kunnen veel van de algemene regels van de algebra worden toegepast op de sommen zelf en op de individuele termen die door de sommatie worden weergegeven.

Meer over integratie

De integratie wordt gedefinieerd als het omgekeerde proces van differentiatie. Maar in zijn geometrische visie kan het ook worden beschouwd als het gebied dat wordt omsloten door de curve van de functie en de as. Daarom geeft berekening van de oppervlakte de waarde van een bepaalde integraal zoals weergegeven in het diagram.

Afbeeldingsbron:

De waarde van de bepaalde integraal is eigenlijk de som van de kleine stroken in de curve en de as. De oppervlakte van elke strip is de hoogte x breedte op het punt op de beschouwde as. Breedte is een waarde die we kunnen kiezen, zeg ∆x. En hoogte is ongeveer de waarde van de functie op het beschouwde punt, zeg f (x _i). Uit het diagram blijkt dat hoe kleiner de stroken zijn, hoe beter de stroken binnen het begrensde gebied passen, dus een betere benadering van de waarde.

Dus in het algemeen de bepaalde integraal I, tussen de punten a en b (dwz in het interval [a, b] waar a1) ∆x + f (x ₂) ∆x + ⋯ + f (x _n) ∆x, waarbij n het aantal stroken is (n = (ba) / ∆x). Deze sommatie van het gebied kan gemakkelijk worden weergegeven met behulp van de sommatie-notatie als I ≅ ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x. Omdat de benadering beter is als ∆x kleiner is, kunnen we de waarde berekenen als ∆x → 0. Daarom is het redelijk om te zeggen I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x.

Als generalisatie van het bovenstaande concept kunnen we de ∆x kiezen op basis van het beschouwde interval geïndexeerd door i (de breedte van het gebied kiezen op basis van de positie). Dan krijgen we

Ik = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{ik = 1} f (X _ik) ∆x _ik = _een ∫ ^b f (X) dx

Dit staat bekend als de Reimann-integraal van de functie f (x) in het interval [a, b]. In dit geval staan a en b bekend als de bovengrens en ondergrens van de integraal. Reimann-integraal is een basisvorm van alle integratiemethoden.

In wezen is integratie de optelling van het gebied wanneer de breedte van de rechthoek oneindig klein is.

Wat is het verschil tussen integratie en sommatie?

• Sommeren is het optellen van een reeks getallen. Gewoonlijk wordt de sommatie gegeven in deze vorm ∑ ⁿ _{i = 1} a _i wanneer de termen in de reeks een patroon hebben en kunnen worden uitgedrukt met een algemene term.

• Integratie is in feite het gebied dat wordt begrensd door de curve van de functie, de as en boven- en ondergrenzen. Dit gebied kan worden gegeven als de som van veel kleinere gebieden in het begrensde gebied.

• Bij sommatie gaat het om de discrete waarden met de boven- en ondergrenzen, bij de integratie om continue waarden.

• Integratie kan worden geïnterpreteerd als een bijzondere vorm van optellen.

• In numerieke berekeningsmethoden wordt integratie altijd uitgevoerd als een sommatie.