Differentiatie versus afgeleide
In differentiaalrekening zijn afgeleide en differentiatie nauw verwant, maar zeer verschillend, en worden ze gebruikt om twee belangrijke wiskundige concepten weer te geven die verband houden met functies.
Wat is een afgeleide?
Afgeleide van een functie meet de snelheid waarmee de functiewaarde verandert als de invoer verandert. In functies met meerdere variabelen hangt de verandering in de functiewaarde af van de richting van de verandering van de waarden van de onafhankelijke variabelen. Daarom wordt in dergelijke gevallen een specifieke richting gekozen en wordt de functie gedifferentieerd in die bepaalde richting. Die afgeleide wordt de directionele afgeleide genoemd. Gedeeltelijke derivaten zijn een speciaal soort directionele derivaten.
Afgeleide van een vectorwaarde functie f kan worden gedefinieerd als de limiet
waar deze eindig bestaat. Zoals eerder vermeld, geeft dit ons de snelheid waarmee de functie f toeneemt in de richting van de vector u. In het geval van een functie met één waarde, reduceert dit tot de bekende definitie van het derivaat,
Het is bijvoorbeeld
overal differentieerbaar en de afgeleide is gelijk aan de limiet
die gelijk is aan
. De afgeleiden van functies zoals
die overal bestaan. Ze zijn respectievelijk gelijk aan de functies
Dit staat bekend als de eerste afgeleide. Gewoonlijk wordt de eerste afgeleide van functie f aangeduid met f (1). Nu deze notatie wordt gebruikt, is het mogelijk om derivaten van hogere orde te definiëren.
is de tweede-orde directionele afgeleide, en aanduiding van de n- de afgeleide door f (n) voor elke n
definieert de n- de afgeleide.
Wat is differentiatie?
Differentiatie is het proces waarbij de afgeleide van een differentieerbare functie wordt gevonden. D-operator aangeduid met D vertegenwoordigt differentiatie in sommige contexten. Als x de onafhankelijke variabele is, dan is D ≡ d / dx. De D-operator is een lineaire operator, dwz voor elke twee differentieerbare functie f en g en constante c gelden de volgende eigenschappen.
Ik. D (f + g) = D (f) + D (g)
II. D (cf) = cD (f)
Met behulp van de D-operator kunnen de andere regels die bij differentiatie horen, als volgt worden uitgedrukt. D (fg) = D (f) g + f D (g), D (f / g) = [D (f) g - f D (g)] / g 2 en D (mist) = (D (f) og) D (g).
Als bijvoorbeeld F (x) = x 2 sin x wordt gedifferentieerd ten opzichte van x met behulp van de gegeven regels, is het antwoord 2 x sin x + x 2 cos x.
Wat is het verschil tussen differentiatie en afgeleide?
• Afgeleide verwijst naar de mate waarin een functie verandert
• Differentiatie is het proces waarbij de afgeleide van een functie wordt gevonden.
