Fourier-serie versus Fourier-transformatie
Fourier-serie ontleedt een periodieke functie in een som van sinussen en cosinussen met verschillende frequenties en amplitudes. Fourier-serie is een tak van Fourier-analyse en werd geïntroduceerd door Joseph Fourier. Fourier-transformatie is een wiskundige bewerking die een signaal breekt in de samenstellende frequenties. Het oorspronkelijke signaal dat in de loop van de tijd veranderde, wordt de tijddomeinweergave van het signaal genoemd. De Fourier-transformatie wordt de frequentiedomeinweergave van een signaal genoemd, omdat deze afhankelijk is van de frequentie. Zowel de representatie van het frequentiedomein van een signaal als het proces dat wordt gebruikt om dat signaal in het frequentiedomein om te zetten, wordt de Fourier-transformatie genoemd.
Wat is de Fourier-serie?
Zoals eerder vermeld, is de Fourier-reeks een uitbreiding van een periodieke functie met een oneindige som van sinussen en cosinussen. De Fourier-reeks werd aanvankelijk ontwikkeld bij het oplossen van warmtevergelijkingen, maar later werd ontdekt dat dezelfde techniek kan worden gebruikt om een groot aantal wiskundige problemen op te lossen, met name de problemen die betrekking hebben op lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten. Nu heeft de Fourier-serie toepassingen op een groot aantal gebieden, waaronder elektrotechniek, trillingsanalyse, akoestiek, optica, signaalverwerking, beeldverwerking, kwantummechanica en econometrie. Fourier-reeksen gebruiken de orthogonaliteitsverhoudingen van sinus- en cosinusfuncties. Het berekenen en bestuderen van Fourier-reeksen staat bekend als de harmonische analyse en is erg handig bij het werken met willekeurige periodieke functies,omdat het het mogelijk maakt om de functie op te splitsen in eenvoudige termen die kunnen worden gebruikt om een oplossing voor het oorspronkelijke probleem te vinden.
Wat is Fourier-transformatie?
Fourier-transformatie definieert een relatie tussen een signaal in het tijdsdomein en zijn representatie in het frequentiedomein. De Fourier-transformatie ontleedt een functie in oscillerende functies. Aangezien dit een transformatie is, kan het originele signaal worden verkregen door de transformatie te kennen, dus er wordt geen informatie gecreëerd of verloren in het proces. De studie van de Fourier-serie geeft eigenlijk een motivatie voor de Fourier-transformatie. Vanwege de eigenschappen van sinussen en cosinussen is het mogelijk om de hoeveelheid van elke golf die bijdraagt aan de som te herstellen met behulp van een integraal. Fourier-transformatie heeft enkele basiseigenschappen zoals lineariteit, translatie, modulatie, schaalvergroting, vervoeging, dualiteit en convolutie. Fourier-transformatie wordt toegepast bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen, aangezien de Fourier-transformatie nauw verwant is aan Laplace-transformatie. Fourier-transformatie wordt ook gebruikt bij nucleaire magnetische resonantie (NMR) en bij andere soorten spectroscopie.
Verschil tussen Fourier-serie en Fourier-transformatie
Fourier-serie is een uitbreiding van periodiek signaal als een lineaire combinatie van sinussen en cosinussen, terwijl Fourier-transformatie het proces of de functie is die wordt gebruikt om signalen van het tijddomein naar het frequentiedomein om te zetten. Fourier-reeksen zijn gedefinieerd voor periodieke signalen en de Fourier-transformatie kan worden toegepast op aperiodische (optredende zonder periodiciteit) signalen. Zoals hierboven vermeld, biedt de studie van Fourier-reeksen eigenlijk een motivatie voor de Fourier-transformatie.
