Cartesische coördinaten versus poolcoördinaten
In Geometry is een coördinatensysteem een referentiesysteem, waarbij getallen (of coördinaten) worden gebruikt om op unieke wijze de positie van een punt of ander geometrisch element in de ruimte te bepalen. Met de coördinatensystemen kunnen de geometrische problemen worden omgezet in een numeriek probleem, dat de basis vormt voor analytische meetkunde.
Cartesiaans coördinatensysteem en de poolcoördinatensystemen zijn twee van de meest voorkomende coördinatensystemen die in de wiskunde worden gebruikt.
Cartesiaanse coördinaten
Cartesiaans coördinatensysteem gebruikt de reële getallenlijn als referentie. In één dimensie loopt de getallenlijn van negatief oneindig naar positief oneindig. Gezien het punt 0 als het begin, kan de lengte tot elk punt worden gemeten. Dit biedt een unieke manier om een positie op de lijn te identificeren, met een enkel nummer.
Het concept kan worden uitgebreid in twee en drie dimensies waarbij getallenlijnen loodrecht op elkaar worden gebruikt. Ze delen allemaal hetzelfde punt 0 als de start. De getallenlijnen worden assen genoemd en worden vaak X-as, Y-as en Z-as genoemd. De afstand tot een punt langs elke as beginnend bij (0, 0, 0), ook bekend als de oorsprong, en gegeven als een tupel, staat bekend als de coördinaat van het punt. Een algemeen punt in deze ruimte kan worden weergegeven door de coördinaat (x, y, z). In een vliegtuigsysteem met slechts twee assen, worden coördinaten gegeven als (x, y). Een vlak gemaakt door de assen staat bekend als een Cartesiaans vlak, en wordt vaak aangeduid met de letters van de assen. Bijv. XY-vliegtuig.
Dit algemene punt kan worden gebruikt om verschillende geometrische elementen te beschrijven door het algemene punt te beperken om zich op specifieke manieren te gedragen. Vergelijking x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 vertegenwoordigt bijvoorbeeld een cirkel. In plaats van een cirkel te tekenen met straal a, is het mogelijk om de cirkel op een meer abstracte manier aan te duiden zoals hierboven weergegeven.
Pool coördinaten
Poolcoördinaten gebruiken een verschilreferentiesysteem om een punt aan te duiden. Het poolcoördinatensysteem gebruikt de hoek tegen de klok in vanuit de positieve richting van de x-as en de afstand in een rechte lijn tot het punt als de coördinaten.
De poolcoördinaten kunnen worden weergegeven zoals hierboven in het tweedimensionale cartesiaanse coördinatensysteem.
De transformatie tussen polaire en cartesiaanse systemen wordt gegeven door de volgende relaties:
r = √ (x 2 + Y 2) ↔ x = r cosθ, y = r sinθ
θ = bruin -1 (x / y)
Wat is het verschil tussen cartesiaanse en polaire coördinaten?
• Cartesische coördinaten gebruiken getallenlijnen als assen en kunnen in één, twee of drie dimensies worden gebruikt. Daarom heeft het de mogelijkheid om lineaire, vlakke en vaste geometrieën weer te geven.
• Poolcoördinaten gebruiken een hoek en een lengte als de coördinaten en kunnen alleen lineaire en vlakke geometrieën vertegenwoordigen, hoewel het kan worden ontwikkeld tot een cilindrisch coördinatensysteem om vaste geometrieën weer te geven.
• Beide systemen worden gebruikt om imaginaire getallen weer te geven door de imaginaire as te definiëren, en spelen een cruciale rol in complexe algebra. Hoewel, in de eenvoudige vorm, Cartesiaanse coördinaten reële getallen zijn (x, y, z), zijn de coördinaten in het polaire systeem niet altijd reële getallen; dwz als de hoek in graden wordt gegeven, zijn coördinaten niet echt; als de hoek wordt gegeven in radialen, zijn coördinaten reële getallen.
