Power Series versus Taylor Series
In de wiskunde is een echte reeks een geordende lijst met reële getallen. Formeel is het een functie van de verzameling natuurlijke getallen tot de verzameling reële getallen. Als een n de n- de term van een reeks is, geven we de reeks aan met of met een 1, a 2, …, een n, … Beschouw bijvoorbeeld de reeks 1, ½, ⅓, …, 1 / n, …. Het kan worden aangeduid als {1 / n}.
Het is mogelijk om een reeks te definiëren met behulp van reeksen. Een reeks is de som van de termen van een reeks. Daarom is er voor elke reeks een bijbehorende reeks en vice versa. Als {a n} de reeks is die wordt overwogen, dan kan de reeks die door die reeks wordt gevormd, worden weergegeven als:
Dus in het bovenstaande voorbeeld, de bijbehorende serie 1 + 1 / 2 + 1 / 3 + … + 1 / n + ….
Zoals de namen suggereren, is de machtreeks een speciaal type reeks en wordt deze uitgebreid gebruikt in numerieke analyse en aanverwante wiskundige modellen. Taylor-serie is een speciale power-serie die een alternatieve en gemakkelijk te manipuleren manier biedt om bekende functies weer te geven.
Wat is de Power-serie?
Een machtreeks is een reeks van de vorm
die convergent is (mogelijk) voor een interval gecentreerd op c. De coëfficiënten a n kunnen reële of complexe getallen zijn, en zijn onafhankelijk van x; dwz de dummy-variabele.
Door bijvoorbeeld een n = 1 in te stellen voor elke n, en c = 0, wordt de machtreeks 1 + x + x 2 +….. + x n +… verkregen. Het is gemakkelijk waar te nemen dat wanneer x ε (-1,1), deze machtreeks convergeert naar 1 / (1-x).
Een machtreeks convergeert wanneer x = c. De andere waarden van x waarvoor de machtreeks convergeert, zullen altijd de vorm aannemen van een open interval gecentreerd op c. Dat wil zeggen, er zal een waarde zijn 0 ≤ R ≤ ∞ zodat voor elke x die voldoet aan | xc | ≤ R, de machtreeks convergerend is en voor elke x die voldoet aan | xc |> R, de machtreeks divergent. Deze waarde R wordt de convergentiestraal van de machtreeks genoemd (R kan elke reële waarde of positieve oneindigheid aannemen).
Krachtreeksen kunnen worden opgeteld, afgetrokken, vermenigvuldigd en gedeeld met behulp van de volgende regels. Beschouw de twee vermogensreeksen:
Vervolgens,
dwz gelijke termen worden bij elkaar opgeteld of afgetrokken. Het is ook mogelijk om de twee machtsreeksen te vermenigvuldigen en te delen met behulp van de identiteit,
Wat is de Taylor-serie?
Taylorreeks is gedefinieerd voor een functie f (x) die oneindig differentieerbaar is op een interval. Stel dat f (x) differentieerbaar is op een interval gecentreerd op c. Dan de machtreeks die wordt gegeven door
heet de Taylorreeksuitbreiding van de functie f (x) over c. (Hier staat f (n) (c) voor de n- de afgeleide op x = c). In numerieke analyse wordt een eindig aantal termen in deze oneindige uitbreiding gebruikt bij het berekenen van waarden op punten waar de reeks convergeert naar de oorspronkelijke functie.
Een functie f (x) wordt analytisch genoemd in het interval (a, b), als voor elke x ε (a, b) de Taylorreeks van f (x) convergeert naar de functie f (x). 1 / (1-x) is bijvoorbeeld analytisch op (-1,1), aangezien de Taylor-uitbreiding 1 + x + x 2 +….. + x n +… convergeert naar de functie op dat interval, en e x is overal analytisch, aangezien de Taylorreeks van e x convergeert naar e x voor elk reëel getal x.
Wat is het verschil tussen de Power-serie en de Taylor-serie?
1. Taylor-serie is een speciale klasse van vermogensreeksen die alleen is gedefinieerd voor functies die oneindig differentieerbaar zijn op een bepaald open interval.
2. Taylor-series hebben de speciale vorm
terwijl een machtreeks elke reeks van de vorm kan zijn
