Riemann-integraal versus Lebesgue-integraal
Integratie is een hoofdonderwerp bij calculus. In bredere zin kan integratie worden gezien als het omgekeerde proces van differentiatie. Bij het modelleren van problemen uit de echte wereld is het gemakkelijk om uitdrukkingen te schrijven met afgeleiden. In een dergelijke situatie is de integratiebewerking vereist om de functie te vinden die de specifieke afgeleide heeft opgeleverd.
Vanuit een andere hoek is integratie een proces dat het product van een functie ƒ (x) en δx samenvat, waarbij δx meestal een bepaalde limiet is. Daarom gebruiken we het integratiesymbool als ∫. Het symbool ∫ is in feite wat we verkrijgen door de letter s uit te rekken om naar som te verwijzen.
Riemann-integraal
Beschouw een functie y = ƒ (x). De integraal van y tussen a en b, waarbij a en b tot een verzameling x behoren, wordt geschreven als b ∫ a ƒ (x) dx = [F (x)] a → b = F (b) - F (a). Dit heet een bepaalde integraal van de enkelvoudige en continue functie y = ƒ (x) tussen a en b. Dit geeft het gebied onder de curve tussen a en b. Dit wordt ook wel Riemann-integraal genoemd. Riemann-integraal is gemaakt door Bernhard Riemann. Riemannintegraal van een continue functie is gebaseerd op de Jordan-maat, daarom wordt het ook gedefinieerd als de limiet van de Riemann-sommen van de functie. Voor een functie met reële waarde gedefinieerd op een gesloten interval, de Riemann-integraal van de functie met betrekking tot een partitie x 1, x 2, …, x ngedefinieerd op het interval [a, b] en t 1, t 2, …, t n, waarbij x i ≤ t i ≤ x i + 1 voor elke i ε {1, 2, …, n}, Riemann-som wordt gedefinieerd als Σ ik = o tot n-1 ƒ (t ik) (X ik + 1 - X ik).
Lebesgue Integral
Lebesgue is een ander type integraal, dat een grote verscheidenheid aan gevallen omvat dan Riemann-integraal. De lebesgue-integraal werd geïntroduceerd door Henri Lebesgue in 1902. Legesgue-integratie kan worden beschouwd als een generalisatie van de Riemann-integratie.
Waarom moeten we een andere integraal bestuderen?
Laten we eens kijken naar de karakteristieke functie ƒ A (x) = { 0 if, x niet ε A 1 if, x ε A op een verzameling A. Dan eindige lineaire combinatie van karakteristieke functies, die wordt gedefinieerd als F (x) = Σ a i ƒ E i (x) heet de eenvoudige functie als E i meetbaar is voor elke i. De Lebesgue-integraal van F (x) via E wordt aangeduid met E ∫ ƒ (x) dx. De functie F (x) is niet Riemann-integreerbaar. Daarom is Lebesgue-integraal een andere uitdrukking van Riemann-integraal, die enkele beperkingen heeft voor de functies die moeten worden geïntegreerd.
Wat is het verschil tussen Riemann-integraal en Lebesgue-integraal?
· De Lebesgue-integraal is een generalisatievorm van de Riemann-integraal.
· De Lebesgue-integraal staat een telbare oneindigheid van discontinuïteiten toe, terwijl Riemann-integraal een eindig aantal discontinuïteiten toestaat.
