Kardinaal versus rangorde
In ons dagelijks leven kan het gebruik van getallen in verschillende situaties verschillende vormen aannemen. Als we bijvoorbeeld tellen om de grootte van een verzameling objecten te bepalen, tellen we ze als één, twee, drie, enzovoort. Als we iets willen tellen om een idee te krijgen van de positie van de objecten, tellen we ze als eerste, tweede, derde, enzovoort. In de eerste vorm van tellen wordt gezegd dat getallen hoofdtelwoorden zijn. Bij de tweede vorm van tellen worden de getallen als rangtelwoorden beschouwd. In deze context zijn de begrippen kardinaal en ordinaal volledig een kwestie van taalkunde; kardinaal en ordinaal zijn bijvoeglijke naamwoorden.
De uitbreiding van het concept naar sets in de wiskunde onthult echter een veel dieper en breder perspectief en kan niet in eenvoudige bewoordingen worden behandeld. In dit artikel zullen we proberen de fundamentele concepten van hoofd- en rangtelwoorden in de wiskunde te begrijpen.
Formele definities van hoofdtelwoorden en rangtelwoorden worden gegeven in de verzamelingenleer. De definities zijn ingewikkeld en om ze in volmaakte zin te begrijpen, is achtergrondkennis in de verzamelingenleer nodig. Daarom zullen we naar een paar voorbeelden kijken om de concepten heuristisch te begrijpen.
Beschouw de twee sets {1,3,6,4,5,2} en {bus, auto, veerboot, trein, vliegtuig, helikopter}. Elke set bevat een set elementen, en als we het aantal elementen tellen, is het duidelijk dat elk hetzelfde aantal elementen heeft, namelijk 6. Als we tot deze conclusie komen, hebben we de grootte van de ene set genomen en vergeleken met een andere met een aantal. Zo'n nummer wordt een hoofdtelwoord genoemd. Daarom kunnen we zeggen dat een hoofdtelwoord een getal is dat we kunnen gebruiken om de grootte van de eindige verzamelingen te vergelijken.
Opnieuw kan de eerste reeks getallen in oplopende volgorde worden gerangschikt, rekening houdend met de grootte van elk element en door ze te vergelijken. Tijdens het bestellen worden de nummers als kardinalen beschouwd. Evenzo kan de set van alle niet-negatieve gehele getallen in een set worden geordend; dwz {0,1,2,3,4,…..}. Maar in dit geval wordt de grootte van de set oneindig en is het niet mogelijk om deze in rangtelwoorden te geven. Het maakt niet uit hoe groot een getal je kiest om de grootte van de set te geven, er zullen nog steeds getallen worden weggelaten uit de set die je kiest en die niet-negatieve gehele getallen zijn.
Daarom definiëren wiskundigen deze oneindige kardinaal (die de eerste is) als Aleph-0, geschreven als א (eerste letter in het Hebreeuwse alfabet). Formeel is het rangtelwoord het ordertype van een goed geordende set. Daarom kan het rangtelwoord van de eindige verzamelingen worden gegeven door hoofdtelwoorden, maar voor oneindige verzamelingen wordt rangtelwoord gegeven door transfiniete getallen zoals Aleph-0.
Wat is het verschil tussen kardinale en rangtelwoorden?
• Het hoofdgetal is een getal dat kan worden gebruikt om te tellen, of om de grootte van een eindig geordende set te geven. Alle hoofdtelwoorden zijn rangtelwoorden.
• De rangtelwoorden zijn getallen die worden gebruikt om de grootte van zowel eindige als oneindig geordende sets te geven. De grootte van de eindige geordende verzamelingen wordt gegeven door de gebruikelijke Hindoe-Arabische algebraïsche cijfers, en de oneindige reeksgrootte wordt gegeven door transfiniete getallen.
