Transponeren versus geconjugeerde transponeren
Transponeren van een matrix A kan worden geïdentificeerd als de matrix die wordt verkregen door de kolommen te herschikken als rijen of rijen als kolommen. Als gevolg hiervan worden de indices van elk element uitgewisseld. Meer formeel wordt het transponeren van een matrix A gedefinieerd als
waar
In een transponeermatrix blijft de diagonaal ongewijzigd. Maar alle andere elementen worden rond de diagonaal geroteerd. Ook verandert de grootte van de matrices ook van m × n naar n × m.
De transponering heeft een aantal belangrijke eigenschappen, en ze maken het gemakkelijker om matrices te manipuleren. Ook worden enkele belangrijke transponeermatrices gedefinieerd op basis van hun kenmerken. Als de matrix gelijk is aan zijn transponering, dan is de matrix symmetrisch. Als de matrix gelijk is aan het negatief van de transponering, dan is de matrix scheef symmetrisch.
De geconjugeerde transpositie van een matrix is de transpositie van de matrix waarbij de elementen worden vervangen door zijn complexe conjugaat. Dat wil zeggen, het complexe conjugaat (A *) wordt gedefinieerd als de transponering van het complexe conjugaat van matrix A.
A * = (Ā) T; In detail,
waar
en ā ji ε C.
Het is ook bekend als de hermitische transponering en hermitische conjugaat. Als de geconjugeerde transponering gelijk is aan de matrix zelf, staat de matrix bekend als een hermitische matrix. Als geconjugeerde transponering gelijk is aan het negatief van de matrix, is het een scheef hermitische matrix. En als de inverse van de matrix gelijk is aan het complexe conjugaat, is de matrix unitair.
Evenzo hebben alle complexe conjugaten van speciale matrices ook speciale eigenschappen die kunnen worden gebruikt om ze gemakkelijk wiskundig te manipuleren. De geconjugeerde transponering wordt veel gebruikt in de kwantummechanica en de relevante velden.
Wat is het verschil tussen Transpose en Conjugate Transpose?
• Transponeren van een matrix wordt verkregen door kolommen in rijen te herschikken, of rijen in kolommen. Het complexe conjugaat van een matrix wordt verkregen door elk element te vervangen door zijn complexe conjugaat (dwz x + iy ⇛ x-iy of vice versa). De geconjugeerde transponering wordt verkregen door beide bewerkingen op de matrix uit te voeren.
• Daarom is geconjugeerde transpositie slechts een transponeermatrix met zijn complexe conjugaten als de elementen.
