Hoogte versus mediaan
Hoogte en mediaan zijn twee hoogten die worden gebruikt bij het bespreken van de geometrie van een driehoek.
Hoogtes van een driehoek
De hoogte van een driehoek is een lijnsegment loodrecht op een zijkant en loopt door het hoekpunt tegenover de zijkant. Omdat een driehoek 3 zijden heeft, hebben ze elk een unieke hoogte per zijde, wat in totaal 3 hoogtes per driehoek oplevert. De zijde waarnaar de hoogte loodrecht staat, staat bekend als de verlengde basis van de hoogte.
Hoogte wordt gewoonlijk aangeduid met de letter h (zoals in hoogte).
Hoogtes worden specifiek gebruikt bij het berekenen van de oppervlakte van driehoeken. De oppervlakte van een driehoek is de helft van het product van de hoogte en de basis.
Oppervlakte = 1/2 hoogte × basis = 1/2 h × b
Ook staat het snijpunt van de drie hoogten vanaf de zijkanten bekend als het orthocentrum. Het orthocentrum ligt binnen de driehoek als en slechts als de driehoek een acute driehoek is.
Mediaan van een driehoek
Een mediaan is een lijnsegment dat door het middelpunt van een zijde gaat en het hoekpunt tegenover die zijde. De mediaan doorsnijdt de hoek van het hoekpunt. Het deelt ook de oppervlakte van de driehoek in twee. Evenzo de hoogten, er is een unieke mediaan voor elke zijde; daarom heeft elke driehoek drie medianen. Alle drie de medianen samen verdelen de driehoek in zes kleinere driehoeken met hetzelfde oppervlak. (Zie diagram)
De drie medianen van de driehoek snijden elkaar op een punt, dat elke mediaan verdeelt in een verhouding van 2: 1. Het staat bekend als het zwaartepunt van de driehoek en voor een uniforme laminaire driehoek bevindt het massamiddelpunt zich hier.
Zowel het orthocentrum als de mediaan liggen op de Euler-lijn, die ook het circumcenter van de driehoek bevat.
Wat is het verschil tussen hoogte en mediaan?
• Zowel hoogte als mediaan passeren een hoekpunt, maar de hoogte gaat loodrecht door de tegenoverliggende zijde; dwz loodrecht op de zijkant, terwijl de mediaan door het middelpunt van de andere kant gaat.
• Hoogte wordt gebruikt om de oppervlakte van de driehoek te berekenen.
• Een enkele mediaan deelt de oppervlakte van de driehoek in tweeën en alle drie delen de driehoek in zes kleinere driehoeken met gelijke oppervlakte.
• De medianen kruisen elkaar bij het zwaartepunt, terwijl hoogtes elkaar kruisen bij het orthocentrum.
• Het orthocentrum kan binnen of buiten het gebied van de driehoek liggen, maar het zwaartepunt ligt altijd binnen het gebied van de driehoek.
