Afgeleide versus differentieel
In differentiaalrekening zijn afgeleide en differentiële van een functie nauw verwant, maar hebben zeer verschillende betekenissen, en worden ze gebruikt om twee belangrijke wiskundige objecten weer te geven die verband houden met differentieerbare functies.
Wat is een afgeleide?
Afgeleide van een functie meet de snelheid waarmee de functiewaarde verandert als de invoer verandert. In functies met meerdere variabelen hangt de verandering in de functiewaarde af van de richting van de verandering van de waarden van de onafhankelijke variabelen. Daarom wordt in dergelijke gevallen een specifieke richting gekozen en wordt de functie gedifferentieerd in die bepaalde richting. Die afgeleide wordt de directionele afgeleide genoemd. Gedeeltelijke derivaten zijn een speciaal soort directionele derivaten.
Afgeleide van een vectorwaarde functie f kan worden gedefinieerd als de limiet
waar deze eindig bestaat. Zoals eerder vermeld, geeft dit ons de snelheid waarmee de functie f toeneemt in de richting van de vector u. In het geval van een functie met één waarde, reduceert dit tot de bekende definitie van het derivaat,
Het is bijvoorbeeld
overal differentieerbaar en de afgeleide is gelijk aan de limiet
die gelijk is aan
. De afgeleiden van functies zoals
die overal bestaan. Ze zijn respectievelijk gelijk aan de functies
Dit staat bekend als de eerste afgeleide. Gewoonlijk wordt de eerste afgeleide van functie f aangeduid met f (1). Nu deze notatie wordt gebruikt, is het mogelijk om derivaten van hogere orde te definiëren.
is de tweede-orde directionele afgeleide, en aanduiding van de n- de afgeleide door f (n) voor elke n
definieert de n- de afgeleide.
Wat is differentieel?
Het differentiaal van een functie vertegenwoordigt de verandering in de functie met betrekking tot veranderingen in de onafhankelijke variabele of variabelen. In de gebruikelijke notatie voor een bepaalde functie f een enkele variabele x, de totale differentiaal van orde 1 df wordt gegeven door
. Dit betekent dat voor een oneindig kleine verandering in x (dwz dx), er een f (1) (x) dx verandering zal zijn in f.
Met behulp van limieten kan men als volgt tot deze definitie komen. Stel dat ∆ x de verandering in x is op een willekeurig punt x en ∆ f de overeenkomstige verandering in de functie f is. Aangetoond kan worden dat ∆ f = f (1) (x) ∆ x + ϵ, waarbij ϵ de fout is. Nu is de limiet ∆ x → 0 ∆ f / ∆ x = f (1) (x) (volgens de eerder genoemde definitie van afgeleide) en dus ∆ x → 0 ϵ / ∆ x = 0. Daarom is het mogelijk om concluderen dat ∆ x → 0 ϵ = 0. Nu, door ∆ x → 0 ∆ f aan te duiden als df en ∆ x → 0 ∆ x als dx, wordt de definitie van het differentieel rigoureus verkregen.
Het verschil van de functie
is bijvoorbeeld
In het geval van functies van twee of meer variabelen, wordt het totale verschil van een functie gedefinieerd als de som van verschillen in de richtingen van elk van de onafhankelijke variabelen. Wiskundig kan het worden vermeld als
Wat is het verschil tussen afgeleide en differentiële?
• Afgeleide verwijst naar de snelheid waarmee een functie verandert, terwijl het verschil verwijst naar de feitelijke verandering van de functie, wanneer de onafhankelijke variabele aan verandering onderhevig is.
• De afgeleide wordt gegeven door
maar het verschil wordt gegeven door
