Associatief versus commutatief
In ons dagelijks leven moeten we getallen gebruiken wanneer we iets willen meten. In de supermarkt, bij het benzinestation en zelfs in de keuken moeten we twee of meer hoeveelheden optellen, aftrekken en vermenigvuldigen. Vanuit onze praktijk voeren we deze berekeningen vrij moeiteloos uit. We merken nooit op of vragen ons nooit af waarom we deze bewerkingen op deze specifieke manier uitvoeren. Of waarom deze berekeningen niet op een andere manier kunnen worden gedaan. Het antwoord is verborgen in de manier waarop deze bewerkingen worden gedefinieerd in het wiskundige veld van de algebra.
In de algebra wordt een bewerking met twee grootheden (zoals optellen) gedefinieerd als een binaire bewerking. Meer precies is het een operatie tussen twee elementen uit een set en deze elementen worden de 'operand' genoemd. Veel bewerkingen in de wiskunde, inclusief rekenkundige bewerkingen die eerder zijn genoemd en degene die we tegenkomen in de verzamelingenleer, lineaire algebra en wiskundige logica, kunnen worden gedefinieerd als binaire bewerkingen.
Er is een reeks regels die betrekking hebben op een specifieke binaire bewerking. Associatieve en commutatieve eigenschappen zijn twee fundamentele eigenschappen van de binaire bewerkingen.
Meer over commutatieve eigendommen
Stel dat een binaire bewerking, aangeduid met het symbool ⊗, wordt uitgevoerd op de elementen A en B. Als de volgorde van de operanden het resultaat van de operatie niet beïnvloedt, wordt gezegd dat de operatie commutatief is. dwz als A ⊗ B = B ⊗ A, dan is de bewerking commutatief.
De rekenkundige bewerkingen optellen en vermenigvuldigen zijn commutatief. De volgorde van de getallen bij elkaar opgeteld of vermenigvuldigd, heeft geen invloed op het uiteindelijke antwoord:
A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
EEN × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Maar in het geval van deling geeft verandering in de volgorde het omgekeerde van de ander, en bij aftrekken geeft de verandering het negatieve van de ander. Daarom
A - B ≠ B - A ⇒ 4-5 = -1 en 5-4 = 1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 en 5 ÷ 4 = 1,25 [in dit geval A, B ≠ 1 en 0]
In feite wordt gezegd dat het aftrekken anti-commutatief is; waarbij A - B = - (B - A).
Ook zijn de logische connectieven, de conjunctie, disjunctie, implicatie en de gelijkwaardigheid ook commutatief. Waarheidsfuncties zijn ook commutatief. De ingestelde operaties unie en kruispunt zijn commutatief. Optelling en het scalaire product van de vectoren zijn ook commutatief.
Maar de vectoraftrekking en het vectorproduct is niet commutatief (vectorproduct van twee vectoren is anti-commutatief). De matrixoptelling is commutatief, maar de vermenigvuldiging en de aftrekking zijn niet commutatief. (Vermenigvuldiging van twee matrices kan in speciale gevallen commutatief zijn, zoals de vermenigvuldiging van een matrix met zijn inverse of de identiteitsmatrix; maar matrices zijn beslist niet commutatief als de matrices niet dezelfde grootte hebben)
Meer over associatieve eigendom
Een binaire bewerking wordt associatief genoemd als de volgorde van uitvoering geen invloed heeft op het resultaat wanneer de operator twee of meer keren voorkomt. Beschouw de elementen A, B en C en de binaire bewerking ⊗. De operatie ⊗ zou associatief zijn als
EEN ⊗ B ⊗ C = EEN ⊗ (B ⊗ C) = (EEN ⊗ B) ⊗ C
Van de basis rekenkundige functies zijn alleen optellen en vermenigvuldigen associatief.
A + (B + C) = (A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
A × (B × C) = (A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
Het aftrekken en delen zijn niet associatief;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 en (5 - 4) - 3 = -2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 en (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666
De logische connectieven disjunctie, conjunctie en gelijkwaardigheid zijn associatief, evenals de set operaties unie en intersectie. De matrix- en vectoroptelling zijn associatief. Het scalaire product van vectoren is associatief, maar het vectorproduct niet. Matrixvermenigvuldiging is alleen onder speciale omstandigheden associatief.
Wat is het verschil tussen commutatieve en associatieve eigenschap?
• Zowel de associatieve eigenschap als de commutatieve eigenschap zijn speciale eigenschappen van de binaire bewerkingen, en sommige voldoen eraan en andere niet.
• Deze eigenschappen zijn terug te vinden in vele vormen van algebraïsche bewerkingen en andere binaire bewerkingen in de wiskunde, zoals het snijpunt en de vereniging in de verzamelingenleer of de logische connectieven.
• Het verschil tussen commutatief en associatief is dat de commutatieve eigenschap aangeeft dat de volgorde van de elementen het eindresultaat niet verandert, terwijl de associatieve eigenschap aangeeft dat de volgorde waarin de bewerking wordt uitgevoerd, geen invloed heeft op het uiteindelijke antwoord.
