Parallellogram versus rechthoek
Parallellogram en rechthoek zijn vierhoeken. De geometrie van deze figuren was al duizenden jaren bij de mens bekend. Het onderwerp wordt expliciet behandeld in het boek "Elements", geschreven door de Griekse wiskundige Euclides.
Parallellogram
Parallellogram kan worden gedefinieerd als de geometrische figuur met vier zijden, met tegenoverliggende zijden evenwijdig aan elkaar. Meer precies is het een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden. Deze parallelle aard geeft veel geometrische kenmerken aan de parallellogrammen.
Een vierhoek is een parallellogram als de volgende geometrische kenmerken worden gevonden.
• Twee paar tegenoverliggende zijden zijn even lang. (AB = DC, AD = BC)
• Twee paar tegengestelde hoeken zijn even groot. (
)
• Als de aangrenzende hoeken aanvullend zijn
• Een paar zijden die tegenover elkaar staan, is evenwijdig en even lang. (AB = DC & AB∥DC)
• De diagonalen doorsnijden elkaar (AO = OC, BO = OD)
• Elke diagonaal verdeelt de vierhoek in twee congruente driehoeken. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Verder is de som van de vierkanten van de zijkanten gelijk aan de som van de vierkanten van diagonalen. Dit wordt soms de parallellogramwet genoemd en heeft wijdverbreide toepassingen in de natuurkunde en engineering. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Elk van de bovenstaande kenmerken kan als eigenschappen worden gebruikt, zodra is vastgesteld dat de vierhoek een parallellogram is.
De oppervlakte van het parallellogram kan worden berekend door het product van de lengte van één zijde en de hoogte naar de andere zijde. Daarom kan het gebied van het parallellogram worden opgegeven als
Gebied van parallellogram = basis × hoogte = AB × h
Het gebied van het parallellogram is onafhankelijk van de vorm van het individuele parallellogram. Het is alleen afhankelijk van de lengte van de basis en de loodrechte hoogte.
Als de zijden van een parallellogram kunnen worden weergegeven door twee vectoren, kan het gebied worden verkregen door de grootte van het vectorproduct (kruisproduct) van de twee aangrenzende vectoren.
Als zijden AB en AD worden gerepresenteerd door respectievelijk de vectoren (
) en (
), wordt de oppervlakte van het parallellogram gegeven door
waarbij α de hoek is tussen
en
Hieronder volgen enkele geavanceerde eigenschappen van het parallellogram;
• De oppervlakte van een parallellogram is tweemaal de oppervlakte van een driehoek gecreëerd door een van de diagonalen.
• Het gebied van het parallellogram wordt in tweeën gedeeld door een lijn die door het middelpunt loopt.
• Elke niet-gedegenereerde affiene transformatie neemt een parallellogram naar een ander parallellogram
• Een parallellogram heeft een rotatiesymmetrie van orde 2
• De som van de afstanden vanaf elk binnenpunt van een parallellogram tot de zijkanten is onafhankelijk van de locatie van het punt
Rechthoek
Een vierhoek met vier rechte hoeken staat bekend als een rechthoek. Het is een speciaal geval van het parallellogram waarbij de hoeken tussen twee aangrenzende zijden rechte hoeken zijn.
Naast alle eigenschappen van een parallellogram zijn er nog andere kenmerken te herkennen bij het beschouwen van de geometrie van de rechthoek.
• Elke hoek bij de hoekpunten is een rechte hoek.
• De diagonalen zijn even lang, en ze halveren elkaar. Daarom zijn de doorsneden secties ook even lang.
• De lengte van de diagonalen kan worden berekend met de stelling van Pythagoras:
PQ 2 + PS 2 = SQ 2
• De oppervlakteformule reduceert tot het product van lengte en breedte.
Oppervlakte van rechthoek = lengte x breedte
• Veel symmetrische eigenschappen zijn te vinden op een rechthoek, zoals;
- Een rechthoek is cyclisch, waarbij alle hoekpunten op de omtrek van een cirkel kunnen worden geplaatst.
- Het is gelijkhoekig, waar alle hoeken gelijk zijn.
- Het is isogonaal, waarbij alle hoeken in dezelfde symmetriebaan liggen.
- Het heeft zowel reflectiesymmetrie als rotatiesymmetrie.
Wat is het verschil tussen parallellogram en rechthoek?
• Parallellogram en rechthoek zijn vierhoeken. Rechthoek is een speciaal geval van de parallellogrammen.
• De oppervlakte van een willekeurige kan worden berekend met de formule basis × hoogte.
• Gezien de diagonalen;
- De diagonalen van het parallellogram halveren elkaar en halveren het parallellogram om twee congruente driehoeken te vormen.
- De diagonalen van de rechthoek zijn even lang en halveren elkaar; doorsneden secties zijn even lang. De diagonalen delen de rechthoek in twee congruente rechthoekige driehoeken.
• Gezien de interne hoeken;
- Tegengestelde interne hoeken van het parallellogram zijn even groot. Twee aangrenzende interne hoeken zijn aanvullend
- Alle vier interne hoeken van de rechthoek zijn rechte hoeken.
• Gezien de zijkanten;
- In een parallellogram is de som van de vierkanten van de zijden gelijk aan de som van de vierkanten van de diagonaal (wet van parallellogram)
- In rechthoeken is de som van de vierkanten van de twee aangrenzende zijden gelijk aan het vierkant van de diagonaal aan de uiteinden. (Regel van Pythagoras)
