Discrete functie versus continue functie
Functies zijn een van de belangrijkste klassen van wiskundige objecten, die op grote schaal worden gebruikt in bijna alle subgebieden van de wiskunde. Zoals hun namen suggereren, zijn zowel discrete functies als continue functies twee speciale soorten functies.
Een functie is een relatie tussen twee sets die zo is gedefinieerd dat voor elk element in de eerste set de waarde die ermee overeenkomt in de tweede set uniek is. Laat f een functie zijn die is gedefinieerd van de set A in set B. Dan geeft voor elke x ϵ A het symbool f (x) de unieke waarde in de verzameling B aan die overeenkomt met x. Het heet de afbeelding van x onder f. Daarom is een relatie f van A naar B een functie, als en slechts als voor, elk xϵ A en y ϵ A; als x = y dan f (x) = f (y). De set A wordt het domein van de functie f genoemd, en het is de set waarin de functie is gedefinieerd.
Beschouw bijvoorbeeld de relatie f van R naar R gedefinieerd door f (x) = x + 2 voor elke xϵ A. Dit is een functie waarvan het domein R is, aangezien voor elk reëel getal x en y, x = y f (x) = x + 2 = y + 2 = f (y) impliceert. Maar de relatie g van N naar N gedefinieerd door g (x) = a, waarbij 'a' een priemfactor van x is, is geen functie omdat g (6) = 3, evenals g (6) = 2.
Wat is een discrete functie?
Een discrete functie is een functie waarvan het domein hooguit telbaar is. Dit betekent simpelweg dat het mogelijk is om een lijst te maken die alle elementen van het domein bevat.
Elke eindige verzameling is hoogstens telbaar. De set van natuurlijke getallen en de set van rationale getallen zijn voorbeelden voor hooguit telbare oneindige sets. De reeks reële getallen en de reeks irrationele getallen zijn hoogstens niet telbaar. Beide sets zijn ontelbaar. Het betekent dat het onmogelijk is om een lijst te maken die alle elementen van die sets bevat.
Een van de meest voorkomende discrete functies is de faculteitfunctie. f: NU {0} → N recursief gedefinieerd door f (n) = nf (n-1) voor elke n ≥ 1 en f (0) = 1 wordt de faculteitfunctie genoemd. Merk op dat het domein NU {0} hooguit telbaar is.
Wat is een continue functie?
Laat f een functie zijn zodat voor elke k in het domein van f, f (x) → f (k) als x → k. Dan is f een continue functie. Dit betekent dat het mogelijk is om f (x) willekeurig dicht bij f (k) te maken door x voldoende dicht bij k te maken voor elke k in het domein van f.
Beschouw de functie f (x) = x + 2 op R. Het is te zien dat als x → k, x + 2 → k + 2 dat is f (x) → f (k). Daarom is f een continue functie. Beschouw nu g op positieve reële getallen g (x) = 1 als x> 0 en g (x) = 0 als x = 0. Deze functie is dan geen continue functie aangezien de limiet van g (x) niet bestaat (en daarom is het niet gelijk aan g (0)) als x → 0.
Wat is het verschil tussen discrete en continue functie?
• Een discrete functie is een functie waarvan het domein hooguit telbaar is, maar dit hoeft niet het geval te zijn in continue functies.
• Alle continue functies ƒ hebben de eigenschap dat ƒ (x) → ƒ (k) als x → k voor elke x en voor elke k in het domein van ƒ, maar dit is niet het geval in sommige discrete functies.
