Echte cijfers versus denkbeeldige cijfers
Getallen zijn wiskundige objecten die worden gebruikt om te tellen en te meten. De definitie ervan is in de loop der jaren veranderd met de toevoeging van nul, negatieve getallen, rationale getallen, irrationele getallen en imaginaire getallen. Hoewel de abstracte basis van getalsystemen betrekking heeft op algebraïsche structuren zoals groepen, ringen en velden, wordt hier slechts een intuïtief idee gepresenteerd.
Wat is een reëel getal?
Informeel definiërend, een reëel getal is een getal waarvan het kwadraat niet negatief is. In wiskundige notatie duiden we de reeks reële getallen aan met het symbool R. Daarom voor alle x, als x ϵ R dan x 2 ≥ 0. Kan op een meer rigoureuze manier de set van reële getallen introduceren als het unieke, volledige totaal geordende veld met de binaire bewerking + en. samen met de orderrelatie <. Deze orderrelatie volgt de trichotomiewet, die stelt dat gegeven twee reële getallen x en y, één en slechts één van deze drie geldt; x> y, x <y of x = y.
Een reëel getal kan algebraïsch of transcendentaal zijn, afhankelijk van of het een wortel is van een polynoomvergelijking met coëfficiënten van gehele getallen of niet. Ook kan een reëel getal rationeel of irrationeel zijn, afhankelijk van of het kan worden uitgedrukt als een verhouding van twee gehele getallen of niet. 2.5 is bijvoorbeeld een reëel getal, dat algebraïsch en rationeel is, maar ᴫ is zowel irrationeel als transcendentaal.
De reeks reële getallen is compleet. Het betekent dat voor elke niet-lege deelverzameling van reële getallen die erboven wordt begrensd, een laagste bovengrens heeft, en hieruit kan worden afgeleid dat voor elke niet-lege deelverzameling van reële getallen die eronder wordt begrensd, de grootste ondergrens heeft. Dit onderscheidt de reeks reële getallen van de reeks rationale getallen. Men kan stellen dat de reeks reële getallen is opgebouwd door de gaten in de reeks onvolledige rationale getallen op te vullen, waarbij de hiaten irrationele getallen zijn.
Wat is een denkbeeldig getal?
Een denkbeeldig getal is een getal waarvan het kwadraat negatief is. Met andere woorden, getallen als √ (-1), √ (-100) en √ (- e) zijn denkbeeldige getallen. Alle imaginaire getallen kunnen worden geschreven in de vorm ai waarbij i de 'imaginaire eenheid' √ (-1) is en a een reëel getal dat niet gelijk is aan nul. (Merk op dat i 2 = -1). Hoewel deze cijfers niet echt lijken te zijn en zoals de naam suggereert niet-bestaand, worden ze gebruikt in veel essentiële toepassingen in de echte wereld, op gebieden als luchtvaart, elektronica en techniek.
Wat is het verschil tussen reële getallen en imaginaire getallen?
• Het kwadraat van een reëel getal is niet negatief, maar het kwadraat van een denkbeeldig getal is negatief.
• Een reeks reële getallen vormt een volledig, volledig geordend veld, terwijl de reeks imaginaire getallen niet compleet of geordend is.
