Willekeurige variabelen versus kansverdeling
Statistische experimenten zijn willekeurige experimenten die voor onbepaalde tijd kunnen worden herhaald met een bekende reeks uitkomsten. Zowel willekeurige variabelen als kansverdelingen zijn geassocieerd met dergelijke experimenten. Voor elke willekeurige variabele is er een bijbehorende kansverdeling die wordt gedefinieerd door een functie die cumulatieve verdelingsfunctie wordt genoemd.
Wat is een willekeurige variabele?
Een willekeurige variabele is een functie die numerieke waarden toekent aan de uitkomsten van een statistisch experiment. Met andere woorden, het is een functie die wordt gedefinieerd vanuit de steekproefruimte van een statistisch experiment in de reeks reële getallen.
Overweeg bijvoorbeeld een willekeurig experiment waarbij je een munt twee keer omdraait. De mogelijke uitkomsten zijn HH, HT, TH en TT (H-heads, T-tales). Laat de variabele X het aantal hoofden zijn dat in het experiment is waargenomen. Dan kan X de waarden 0, 1 of 2 aannemen, en het is een willekeurige variabele. Hier zal de willekeurige variabele X de set S = {HH, HT, TH, TT} (de monsterruimte) toewijzen aan de set {0, 1, 2} op zo'n manier dat HH wordt toegewezen aan 2, HT en TH worden toegewezen aan 1 en TT wordt toegewezen aan 0. In functienotatie kan dit worden geschreven als, X: S → R waarbij X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 en X (TT) = 0.
Er zijn twee soorten willekeurige variabelen: discreet en continu, dienovereenkomstig is het aantal mogelijke waarden dat een willekeurige variabele kan aannemen hooguit telbaar of niet. In het vorige voorbeeld is de willekeurige variabele X een discrete willekeurige variabele aangezien {0, 1, 2} een eindige verzameling is. Beschouw nu eens het statistische experiment om de gewichten van studenten in een klas te vinden. Laat Y de willekeurige variabele zijn die is gedefinieerd als het gewicht van een student. Y kan elke reële waarde aannemen binnen een bepaald interval. Daarom is Y een continue willekeurige variabele.
Wat is een kansverdeling?
Kansverdeling is een functie die de kans beschrijft dat een willekeurige variabele bepaalde waarden aanneemt.
Een functie genaamd cumulatieve verdelingsfunctie (F) kan worden gedefinieerd van de verzameling reële getallen naar de verzameling reële getallen als F (x) = P (X ≤ x) (de kans dat X kleiner is dan of gelijk is aan x) voor elk mogelijk resultaat x. Nu kan de cumulatieve verdelingsfunctie van X in het eerste voorbeeld worden geschreven als F (a) = 0, als a <0; F (a) = 0,25, indien 0≤a <1; F (a) = 0,75, als 1≤a <2 en F (a) = 1, als a≥2.
In het geval van discrete willekeurige variabelen, kan een functie worden gedefinieerd van de verzameling mogelijke uitkomsten naar de verzameling reële getallen, zodanig dat ƒ (x) = P (X = x) (de kans dat X gelijk is aan x) voor elk mogelijk resultaat x. Deze specifieke functie ƒ wordt de kansmassafunctie van de willekeurige variabele X genoemd. Nu kan de kansmassafunctie van X in het eerste specifieke voorbeeld worden geschreven als ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25 en anders ƒ (x) = 0. Dus de kansmassafunctie samen met de cumulatieve verdelingsfunctie zal de kansverdeling van X in het eerste voorbeeld beschrijven.
In het geval van continue willekeurige variabelen, kan een functie genaamd de kansdichtheidsfunctie (ƒ) worden gedefinieerd als ƒ (x) = dF (x) / dx voor elke x, waarbij F de cumulatieve verdelingsfunctie is van de continue willekeurige variabele. Het is gemakkelijk in te zien dat deze functie voldoet aan ∫ƒ (x) dx = 1. De kansdichtheidsfunctie samen met de cumulatieve verdelingsfunctie beschrijft de kansverdeling van een continue willekeurige variabele. De normale verdeling (wat een continue kansverdeling is) wordt bijvoorbeeld beschreven met behulp van de kansdichtheidsfunctie ƒ (x) = 1 / √ (2πσ 2) e ^ ([(x-µ)] 2 / (2σ 2)).
Wat is het verschil tussen willekeurige variabelen en kansverdeling?
• Willekeurige variabele is een functie die waarden van een steekproefruimte aan een reëel getal koppelt.
• Kansverdeling is een functie die waarden koppelt die een willekeurige variabele kan nemen aan de respectievelijke kans op voorkomen.
