Logaritmisch versus exponentieel | Exponentiële functie versus logaritmische functie
Functies zijn een van de belangrijkste klassen van wiskundige objecten, die op grote schaal worden gebruikt in bijna alle subgebieden van de wiskunde. Zoals hun namen suggereren, zijn zowel de exponentiële functie als de logaritmische functie twee speciale functies.
Een functie is een relatie tussen twee sets die zo is gedefinieerd dat voor elk element in de eerste set de waarde die daarmee overeenkomt in de tweede set uniek is. Laat ƒ een functie zijn die is gedefinieerd van set A in set B. Dan geeft voor elke x ϵ A het symbool ƒ (x) de unieke waarde in de verzameling B aan die overeenkomt met x. Het heet de afbeelding van x onder ƒ. Daarom is een relatie ƒ van A naar B een functie, als en slechts als, voor elke x ϵ A en y ϵ A, als x = y dan ƒ (x) = ƒ (y). De set A wordt het domein van de functie ƒ genoemd, en het is de set waarin de functie is gedefinieerd.
Wat is een exponentiële functie?
De exponentiële functie is de functie gegeven door ƒ (x) = e x, waarbij e = lim (1 + 1 / n) n (≈ 2,718…) en is een transcendentaal irrationeel getal. Een van de specialiteiten van de functie is dat de afgeleide van de functie gelijk is aan zichzelf; dwz wanneer y = e x, dy / dx = e x. Ook is de functie een overal continu toenemende functie met de x-as als asymptoot. Daarom is de functie ook één-op-één. Voor elke x ϵ R hebben we die e x > 0, en er kan worden aangetoond dat het op R + is. Het volgt ook de basisidentiteit e x + y = e x.e y en e 0= 1. De functie kan ook worden weergegeven met de reeksuitbreiding gegeven door 1 + x / 1! + X 2 /2! + X 3 /3 te zien! +… + X n / n! +…
Wat is een logaritmische functie?
De logaritmische functie is de inverse van de exponentiële functie. Aangezien de exponentiële functie één-op-één is en op R +, kan een functie g worden gedefinieerd uit de reeks positieve reële getallen in de reeks reële getallen gegeven door g (y) = x, als en slechts als, y = e x. Deze functie g wordt de logaritmische functie of meestal de natuurlijke logaritme genoemd. Het wordt aangeduid met g (x) = log e x = ln x. Omdat het de inverse is van de exponentiële functie, als we de weerspiegeling nemen van de grafiek van de exponentiële functie over de lijn y = x, dan hebben we de grafiek van de logaritmische functie. De functie is dus asymptotisch voor de y-as.
Logaritmische functie volgt een aantal basisregels waarvan ln xy = ln x + ln y, ln x / y = ln x - ln y en ln xy = y ln x de belangrijkste zijn. Dit is ook een toenemende functie, en het is overal continu. Daarom is het ook een-op-een. Het kan worden aangetoond dat het op R is.
Wat is het verschil tussen exponentiële functie en logaritmische functie?
• De exponentiële functie wordt gegeven door ƒ (x) = e x, terwijl de logaritmische functie wordt gegeven door g (x) = ln x, en de eerste is het omgekeerde van de laatste.
• Het domein van de exponentiële functie is een set reële getallen, maar het domein van de logaritmische functie is een set positieve reële getallen.
• Het bereik van de exponentiële functie is een set positieve reële getallen, maar het bereik van de logaritmische functie is een set reële getallen.
